Гипотеза Пуанкаре считается наиболее известной проблемой топологии. Неформально говоря, она утверждает, что всякий «трехмерный объект», обладающий некоторыми свойствами трехмерной сферы (например, каждая петля внутри него должна быть стягиваема), обязан быть сферой с точностью до деформации. Попытки доказать гипотезу Пуанкаре, как успешные, так и неудачные, привели к многочисленным продвижениям в топологии многообразий.

В исходной форме гипотеза утверждает, что:
Всякое односвязное замкнутое трёхмерное многообразие гомеоморфно трехмерной сфере.

Гипотеза сформулирована Пуанкаре в 1904 г. Доказательство гипотезы Тёрстона о геометризации и в частности доказательство гипотезы Пуанкаре опубликовано только в 2002 г. петербургским математиком Григорием Перельманом (Филдсовская медаль 2006 г.) и признано верным только спустя четыре года.

Обобщённая гипотеза Пуанкаре

Обобщенная гипотеза Пуанкаре утверждает, что:
Для любого n всякое многообразие размерности n гомотопически эквивалентно сфере размерности n тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей.

Исходный вариант является частным случаем обобщенной гипотезы при n = 3 и только для этого случая не существовало доказательства. Доказательства для  получены в начале 1960-1970-х почти одновременно Смейлом, независимо и другими методами Столлингсом (для , его доказательство было распространено на случаи n = 5 и 6 Зееманом). Доказательство значительно более трудного случая n = 4 было получено только в 1982 г. Фридманом (Филдсовская медаль 1986 г.).

Внешние ссылки
J. Milnor, The Poincaré Conjecture 99 Years Later: A Progress Report in English
Сергей Николенко Проблемы 2000: Гипотеза Пуанкаре
John W.Morgan and Gang Tian Ricci Flow and the Poincare Conjecture in English
B. Kleiner, J. Lott Notes on Perelman's papers in English
Полное доказательство гипотезы Пуанкаре предъявлено уже тремя независимыми группами математиков
Terence Tao Perelman's proof of the Poincaré conjecture: a nonlinear PDE perspective in English